Fillotassi, serie di Fibonacci, sezione aurea e altre cose di questo genere (prima parte)
Recentemente, la combinazione di genetica, strumenti molecolari e micromanipolazione ha comportato l’identificazione di alcuni regolatori di crescita delle piante, in particolare alcuni ormoni vegetali (auxine) coinvolti nella formazione e nello sviluppo degli organi. Gli schemi fillotassici osservabili in natura la maggior parte delle volte sono comunque quattro: l’assetto può essere distico, a spirale di Fibonacci, decussato e tricussato, a seconda dell’angolo di divergenza che divide due foglie; ma ci sono anche altri schemi ricorrenti, come la disposizione distica e quella verticillata (figura in basso). Nel primo caso sarà di 180°, nel secondo seguirà l’andamento di una spirale con un angolo di 137,5°, per la disposizione decussata ci saranno 90° (un esempio è la pianta del basilico) e, inne, per la tricussata 60°. Ciò che però tutti i modelli fillotattici hanno in comune è che i nuovi organi tendono a formarsi il più lontano possibile da organi precedentemente presenti (questa regola empirica è stata formulata per la prima volta da Hofmeister nel 1868). In termini di rilevanza biologica, la regola di Hofmeister è pensata per essere vantaggiosa in termini di cattura efficiente della luce e dell’acqua. Tuttavia, diversi modelli fillotassici producono un’efficienza di intercettazione luminosa simile. Pertanto, la cattura della luce non spiega ad esempio perché i modelli a spirale siano così prevalenti in natura o in base a quali condizioni ambientali una particolare disposizione delle foglie potrebbe avere un vantaggio selettivo.
Alcuni schemi di fillotassi (fonte qui).
La fillotassi è quindi regolata da intriganti relazioni matematiche. Una di queste è il fatto straordinario che il numero di spirali che può essere tracciato attraverso un modello fillotassico sono prevalentemente numeri interi della sequenza di Fibonacci, nome dato a Leonardo Pisano, nato a Pisa nel 1175 e morto presumibilmente nella stessa città nel 1235. Nella successione di Fibonacci, ciascun numero equivale alla somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ecc. La successione di Fibonacci è la più antica fra le successioni ricorsive note, ma questi numeri non furono identificati come qualcosa di speciale fino alla metà dell’ottocento, quando presero il nome con cui li conosciamo oggi grazie a François-Edouard-Anatole Lucas (1842-1891). Già Keplero osservò che il rapporto tra due numeri consecutivi della successione tende, come vedremo in seguito, alla sezione aurea, ma è a partire dal 1830 che si ha una grande crescita dell’interesse verso questa successione. Si notò infatti, che i numeri comparivano come numeri delle spirali delle brattee su una pigna e si osservarono una gran varietà di altri casi dove si poteva trovare questa successione. Jacques-Philippe-Marie Binet (1786-1856) sviluppò una formula per trovare un qualsiasi numero di Fibonacci data la sua posizione nella successione, e tutt’ora questi numeri affascinano i matematici di tutto il mondo. I numeri della successione di Fibonacci si possono facilmente ritrovare nel numero di spirali formate dai semi di girasole o di una margherita, o disegnate dalle brattee delle pigne, dalle spine delle piante grasse o dalle esplosioni pirotecniche di alcune infiorescenze. Ad esempio, nell’ananas (figura in basso) ci sono di solito 8 file di spirali verso sinistra e 13 verso a destra, più 5 centrali; quindi tre numeri della serie di Fibonacci. E lo stesso fenomeno accade nelle spirali che si formano nelle pigne.
Ancora, il numero petali dei fiori sono spesso numeri di Fibonacci.
Iris 5 petali, rosa 5 petali, epatica 8 petali, margherita 21 petali (fonte qui).
In molte specie di piante, i numeri di Fibonacci ricorrono nella disposizione delle foglie sui rami. In pratica, le foglie sono disposte sui rami in modo da non coprirsi l’una con l’altra, così da permettere a ciascuna di loro di ricevere più luce (e qualcuno dice anche più acqua piovana). È detto quoziente di fillotassi il rapporto tra il numero di giri e il numero di foglie tra due foglie simmetriche. Tale quoziente è quasi sempre il rapporto tra due numeri consecutivi o alternati della successione di Fibonacci. Per esempio, nel disegno in basso, occorrono 3 giri completi e passare attraverso 8 foglie per ritornare alla foglia allineata con la prima: il quoziente di fillotassi è 3/8. Altri esempi. Nei tigli le foglie si dispongono intorno al ramo con un quoziente di fillotassi pari a1/2. Nel nocciolo, nel faggio e nel rovo è di 1/3. Il melo, l’albicocco e alcune specie di querce hanno le foglie ogni 2/5 di giro e nel pero e nel salice piangente ogni 3/8 di giro.
Quindi, i numeri di Fibonacci si ritrovano quando contiamo il numero di volte che giriamo intorno allo stelo, andando di foglia in foglia, per unire due foglie sovrastanti. Se invece contiamo nell’altra direzione, avremo un diverso numero di giri per lo stesso numero di foglie. E troviamo un numero di Fibonacci anche se contiamo le foglie incontrate per arrivare alla foglia direttamente sopra quella di partenza, contando anche questa. Il numero di giri in ogni direzione ed il numero di foglie incontrate, sono quindi tre numeri di Fibonacci consecutivi.
Fino ad ora abbiamo visto i numeri di Fibonacci come successione anziché come numeri singoli. La fillotassi, però, spesso non è guidata direttamente dalla successione, ma dalla relazione fra i membri consecutivi della successione, attraverso i loro quozienti. Il quoziente fra due numeri di Fibonacci consecutivi tende a un particolare numero chiamato rapporto aureo (o sezione aurea), che per convenzione si indica con la lettera greca ϕ (phi).
ϕ = 1,6180339887498948482045868343656 ecc. ecc.
La sezione aurea fu scoperta da Ippaso di Metaponto e si conosce sin dall’antichità, tanto che la si può trovare nel libro VI degli Elementi di Euclide, ma probabilmente era già noto ai Babilonesi. La lettera ϕ è stata scelta probabilmente in onore del famoso scultore greco Fidia, il grande architetto greco vissuto tra il 490 e il 430 a.C. il quale, secondo numerosi storici dell’arte, ha spesso volutamente applicato la proporzione aurea e ha fatto di questo numero una caratteristica fissa delle proprie opere, ma ϕ è presente anche nelle piramidi egizie (ad es., nel rapporto tra altezza e base della grande piramide di Cheope).
Sezione aurea nelle opere di Leonardo.
Inoltre, il rettangolo costruito sul rapporto aureo tra base e altezza prende il nome di rettangolo aureo (figura in basso). Sorprendentemente, si è dimostrato più volte nei secoli che è effettivamente il rettangolo più piacevole alla vista. Scomponendo un rettangolo aureo, cioè sottraendo dal rettangolo aureo un quadrato di lato uguale al lato minore del rettangolo, si ottiene come risultato un rettangolo più piccolo, che è ancora aureo. Procedendo sempre nello stesso modo, si formano rettangoli sempre più piccoli, uno dentro l’altro. Inoltre, tracciando le diagonali di ogni coppia di rettangoli (quello di partenza e quello più piccolo) si nota che si incontrano in un punto nel quale converge una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli. In questa figura si può costruire una spirale disegnando un arco di circonferenza entro ogni quadrato, fino a formare una spirale logaritmica approssimata, chiamata spirale aurea, anche detta spira mirabilis (figura in basso). La spirale logaritmica è definita anche proporzionale perché ogni raggio vettore sarà più ampio del precedente secondo una progressione geometrica, facendo sì che la curva, crescendo, non cambi forma. La spirale proporzionale ha inoltre due caratteristiche peculiari: non raggiunge mai il polo (cioè il punto attorno al quale si avvolge infinite volte) e la sua forma non cambia quando se ne modificano le dimensioni, sia che si aumentino sia che si riducano; per questo viene detta autosomigliante.
[continua…]